Vadības informācijas sistēmu katedra

Kursa darbs automatizācijā par tēmu: “Automātiskās vadības sistēmas analīze un sintēze”.

Pabeigts:

7. iespēja

Pārbaudīts:

Maskava 2008

Ievads 4

Aprēķinu un grafiskā daļa: 6

1. Pārneses funkcijas W(p) noteikšana 6

2.Pārsūtīšanas funkcijas W(p) definīcija 7

3. Pārneses funkcijas W(p) 9 noteikšana

4. Pārneses funkcijas W(p) 10 noteikšana

5. Kontrolējamā parametra pārejas procesa aprēķins ACS 13

6. Kontroles kvalitātes rādītāju un maksimālā regulējamā parametra noteikšana. 15

7. Normatīvo kvalitātes rādītāju noteikšana 15

8. Atvērtās cilpas ACS 15 nemaināmās daļas LFC konstrukcija

9. Vēlamā LFC uzbūve 17

10. LFC noteikšana koriģējošā vienība 19

11.Pārsūtīšanas funkcijas definīcija atvērtas cilpas pašpiedziņas vadības sistēma atbilstoši vēlamajam LFC 19

12.Pārsūtīšanas funkcijas definīcija koriģējošā vienība saskaņā ar LACCH 20

13. Koriģētā ACS 21 pārejas procesa aprēķins

14. Pielāgotās ACS stabilitātes robežas noteikšana amplitūdas un fāzes izteiksmē. 21

15. Koriģētā AKS regulējuma kvalitātes rādītāju noteikšana 23

25. secinājums

Izmantoto avotu saraksts 26
IEVADS

Automātiskā vadība ir visefektīvākais automatizācijas princips daļējā automatizācijā, kad automatizācijas tehniskie līdzekļi veic tikai vienkāršas vadības funkcijas, kas saistītas ar mērīšanu, analīzi, dažādu fizisko lielumu kontroli un operatora pieņemto lēmumu apstrādi iestatījumu, programmu vai citi vadības signāli.

Daļēja automatizācija ir aizstāta ar sarežģītu automatizāciju, kad automatizācija tiek veikta ne tikai vadības funkcijām, bet arī tām, ko izraisa šo signālu ģenerēšana vai lēmumu pieņemšana, pamatojoties uz vadības mērķiem. Šobrīd automātiskās vadības sistēmas (ACS) ir galvenie tehniskie līdzekļi automatizētu ražošanas telpu, cehu un tehnoloģisko procesu izveidei.

Mūsdienu automātisko sistēmu sarežģītība ir ievērojami palielinājusies. Ja daļējās automatizācijas periodā tās parasti sastāvēja no atsevišķām automātiskās vadības sistēmām, kuru darbību savstarpējo koordināciju veica cilvēki, tad tagad ir nepieciešama automātiska viņu darbību koordinācija un līdz ar to kompleksu savstarpēji saistītu un daudzlīmeņu automātiskās vadības sistēmas (ACS). Turklāt pirmajā līmenī tiek pētīti un automatizēti salīdzinoši vienkārši lokālie vadības procesi, bet otrajā un nākamajos līmeņos tiek pētīti un automatizēti vispārīgāki un sarežģītāki vadības procesi.

Automātiskās vadības teorijā var izdalīt divus raksturīgus uzdevumus:

· dotajā ACS pārejas procesu atrašana un novērtēšana ir AKS analīzes uzdevums;

· izstrādāt ACS, pamatojoties uz dotajiem pārejas procesiem un galvenajiem rādītājiem - tas ir ACS sintezēšanas uzdevums.

Otrs uzdevums ir sarežģītāks tā neskaidrības dēļ, daudz ko nosaka dizainera radošās spējas. Tāpēc automātiskās vadības sistēmu sintezēšanas uzdevums parasti tiek izvirzīts ierobežoti. Tiek pieņemts, ka galvenā sistēmas daļa jau ir norādīta, kas parasti notiek. Nepieciešams sintezēt koriģējošās saites, t.i. izvēlieties to shēmu un parametrus. Šajā gadījumā ir nepieciešams, lai ACS korekcijas rezultātā tiktu nodrošināta nepieciešamā stabilitātes rezerve, vadības precizitāte līdzsvara režīmos un vadības kvalitāte dinamiskajos režīmos.

Automātisko sistēmu sintēze ir galvenais un praktiski svarīgākais automātiskās regulēšanas un vadības teorijas iegūto rezultātu pielietojums.

Sistēmas sintēze ir tās struktūras un to elementu - to fiziskās būtības, dizaina un parametru - izvēle. Šajā gadījumā sistēmas īpašībām jāatbilst noteiktām iepriekš noteiktām prasībām. Tiek uzrādītas gan vispārīgās inženiertehniskās prasības saistībā ar izmēriem, svaru, izmaksām, uzticamību u.c., gan arī specifiskās prasības - uz sistēmas statiskajām un dinamiskajām īpašībām, uz regulēšanas kvalitāti.

Kursa darba mērķis ir analizēt doto automātiskās vadības sistēmu un tās turpmāko sintēzi, lai uzlabotu tās īpašības.

Materiāls no Wikipedia - brīvās enciklopēdijas

$W$-Lamberta funkcija ir definēta kā apgrieztā funkcija $f(w)=w\; e^w$, kompleksam $w$. Norādīts $W(x)$ vai $\backslash operatora\; nosaukums(LambertW)(x)$. Jebkuram kompleksam $z$ to nosaka funkcionālais vienādojums:

$z=W(z)e^(W(z))$

$W$-Lamberta funkciju nevar izteikt elementārās funkcijās. To lieto kombinatorikā, piemēram, koku skaita skaitīšanā, kā arī vienādojumu risināšanā.

Stāsts

Funkcija tika pētīta Leonharda Eilera darbā 1779. gadā, taču tai nebija patstāvīgas nozīmes un nosaukuma līdz 80. gadiem. Tā tika ieviesta kā neatkarīga funkcija Maple datoralgebras sistēmā, kur tai tika izmantots nosaukums Lamberts V. Vārds Johans Heinrihs Lamberts tika izvēlēts tāpēc, ka Eilers savos darbos atsaucās uz Lamberta darbu un tāpēc, ka "nosaukt citu funkciju Eilera vārdā būtu bezjēdzīgi".

Polisēmija

Kopš funkcijas $f(w)$ nav injicējams intervālā $(-\backslash infty,0)$, $W(z)$ ir daudzvērtīga funkcija $[-\backslash frac(1)(e),0)$. Ja aprobežojamies ar reālu $z\; =\; x\backslash geqslant-1/e$ un pieprasījums $w\backslash geqslant\; -1$, tiks definēta vienas vērtības funkcija $W\_0(x)$.

Asimptotika

Ir noderīgi zināt funkcijas asimptotisko uzvedību, kad tā tuvojas noteiktiem galvenajiem punktiem. Piemēram, lai paātrinātu konverģenci, veicot atkārtotus aprēķinus.

$\backslash left.W(z)\backslash right|\_(z\; \backslash to\; \backslash infty)\; =\; \backslash log(z)-\backslash log(\backslash log(z))$

$\backslash left.W(z)\backslash right|\_(z\; \backslash to\; -\backslash frac(1)(e))\; =\; \backslash sqrt(\; 2\; (ez\; +\; 1)\; )-1$

Citas formulas

$\backslash int\_(0)^(\backslash pi)\; W\backslash bigl(2\backslash cot^2(x)\; \backslash bigr)\backslash sec^2(x)\backslash ;\backslash mathrm\; dx\; =\; 4\backslash sqrt(\backslash pi)$ $\backslash int\_(0)^(+\backslash infty)\; W\backslash left(\backslash frac(1)(x^2)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash sqrt(2\backslash pi)$ $\backslash int\_(0)^(+\backslash infty)\; \backslash frac(W(x))(x\backslash sqrt(x))\backslash mathrm\; dx\; =\; 2\backslash sqrt(2\backslash pi)$

Īpašības

Atšķirot netiešo funkciju, mēs varam iegūt, kad $z\backslash ne\; -\backslash tfrac(1)(e)$ Lamberta funkcija apmierina šādu diferenciālvienādojumu:

$(dW\backslash over\; dz)\; =\; \backslash frac(1)(z)\; \backslash frac(W(z))(W(z)+1).$ $e^(-c\; x)\; =\; a\_o\; (x-r\_1)\; (x-r\_2)\; ~~\backslash qquad\backslash qquad(2)$ un kur ir konstantes r 1 un r 2 ir šī kvadrātiskā polinoma saknes. Šajā gadījumā šī vienādojuma risinājums ir funkcija ar argumentu x, A r es un a o ir šīs funkcijas parametri. No šī viedokļa, lai gan šī Lambert W funkcijas vispārīgā pielietošana atgādina hiperģeometrisko funkciju un “Meijer G” funkciju, tā pieder cita veida funkcijai r 1 = r 2, tad abas vienādojuma (2) puses var vienkāršot līdz vienādojumam (1), un tādējādi vispārīgais risinājums tiek vienkāršots līdz standarta W funkcijai. (2) vienādojums parāda definējošās attiecības skalārā dilatona laukā, no kura izriet problēmas risinājums pāru ķermeņu lineārās gravitācijas mērīšanai 1+1 dimensijās (telpas mērīšana un laika mērīšana) nevienādu masu gadījumā. , kā arī problēmas risinājums divdimensiju stacionāram Šrēdingera vienādojumam ar potenciālu Diraka delta funkcijas formā nevienādiem lādiņiem vienā dimensijā. $e^(-c\; x)\; =\; a\_o\; \backslash frac(\backslash displaystyle\; \backslash prod\_(i=1)^(\backslash infty)\; (x-r\_i))(\backslash displaystyle\; \backslash prod\_(i=1)^(\backslash infty)\; (x-s\_i\; ))\; \backslash qquad\; \backslash qquad\backslash qquad(3)$ Kur r es un s es esmu konstantes, un x ir funkcija starp iekšējo enerģiju un attālumu kodola R iekšienē. (3) vienādojums, kā arī tā vienkāršotās formas, kas izteiktas (1) un (2) vienādojumos, ir aiztures diferenciālvienādojumi.

Lamberta W funkcijas pielietojums fizikas pamatproblēmās neaprobežojas ar standarta vienādojumu (1), kā nesen tika parādīts atomu, molekulārās un optiskās fizikas jomās.

Aprēķins

$W$-funkciju var aptuveni aprēķināt, izmantojot atkārtošanās attiecību:

w_(j+1)=w_j-\frac(w_j e^(w_j)-z)(e^(w_j)(w_j+1)-\frac((w_j+2)(w_je^(w_j)-z) ) (2w_j+2))

Programmas piemērs Python:

importēt math def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 i diapazonā xrange(100): wTimesExpW = w*math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): pārtraukums if ( prec<= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Aptuvenam aprēķinam varat izmantot formulu: !!!Dotā funkcija ir līdzīga, bet vairāk nekā par 10% atšķiras no Lamberta funkcijas

W(x) \apmēram \left\( \begin(matrix) 0(,)665\cdot (1+0(,)0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0(,) 04 & \ :\ & 0 500 \\ \end(matrica) \right.

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Lamberta W funkcija"

Saites

1. Corless et al. (1996). "". Adv. Skaitļošanas matemātika. 5 : 329-359.
2. T. C. Scott, R. B. Mann (2006). "". AAECC (piemērojamā algebra inženierzinātnēs, komunikācijās un skaitļošanā) 17 (1): 41–47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). "". SIGSAM (ACM īpašo interešu grupa simboliskajās un algebriskajās manipulācijās) 47 (185): 75–83.
4. T. C. Skots, G. Fī, Dž. Grotendorsts, V. Z. Džans (2014). "". SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
5. P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). "". Klase. Kvantu gravs. 24 (18): 4647–4659. DOI: 10.1088/0264-9381/24/18/006.
6. T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). "". Chem. Fiz. 324 : 323–338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
7. Maignan, Aude (2016). "Vispārinātās Lamberta W funkcijas pilnveidošana". SIGSAM 50 (2): 45–60. DOI: 10.1145/2992274.2992275.
8. T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). "Hēlija atomu īpašfunkciju mezglu virsmas". Fiz. Rev. A 75 : 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
9. iepakojumā

Fragments, kas raksturo Lamberta W funkciju

– Un otrs austrietis, ar viņu, bija kā ar krītu nosmērēts. Kā milti, balti. Es tēju, kā viņi tīra munīciju!
- Ko, Fedeshow!... vai viņš teica, ka, sākoties cīņai, tu stāvēji tuvāk? Viņi visi teica, ka pats Bunaparts stāv Brunovo.
- Bunaparte ir tā vērts! viņš melo, muļķis! Ko viņš nezina! Tagad prūši saceļas. Tāpēc austrietis viņu nomierina. Tiklīdz viņš noslēgs mieru, sāksies karš ar Bunapartu. Citādi, viņš saka, Bunaparte stāv Brunovā! Tas liecina, ka viņš ir muļķis. Klausieties vairāk.
- Paskatieties, nolādētie iemītnieki! Piektā kompānija, lūk, jau iegriežas ciematā, vārīs putru, un mēs tik un tā netiksim līdz vietai.
- Iedod man krekeri, sasodīts.
- Vai tu man vakar iedevi tabaku? Tieši tā, brāli. Nu, lūk, Dievs ar tevi.
"Vismaz viņi apstājās, pretējā gadījumā mēs neēdīsim vēl piecas jūdzes."
"Bija jauki, kā vācieši mums iedeva ratiņus." Kad dodaties, ziniet: tas ir svarīgi!
"Un šeit, brāli, cilvēki ir pilnīgi satracināti." Tur viss izskatījās tā, it kā būtu polis, viss piederēja Krievijas kronim; un tagad, brāli, viņš ir kļuvis pilnīgi vācisks.
– Dziesmu autori uz priekšu! – atskanēja kapteiņa sauciens.
Un divdesmit cilvēku izskrēja no dažādām rindām uzņēmuma priekšā. Bundzinieks sāka dziedāt un pagrieza seju pret dziesmu autoriem un, pamādams ar roku, iesāka stieptu kareivja dziesmu, kas sākās: “Vai nav rītausma, saule uzlēca...” un beidzās ar vārdiem. : “Tātad, brāļi, būs slava mums un Kamenska tēvam...” Šī dziesma tika komponēta Turcijā un tagad tika dziedāta Austrijā, tikai ar izmaiņu, ka “Kamenska tēva” vietā tika ievietoti vārdi: “ Kutuzova tēvs.
Noplēsis šos pēdējos vārdus kā karavīrs un vicinādams ar rokām, it kā kaut ko zemē mestu, bundzinieks, sauss un izskatīgs karavīrs apmēram četrdesmit gadus vecs, bargi paskatījās uz karavīru dziesmu autoriem un aizvēra acis. Tad, pārliecinājies, ka visas acis ir vērstas uz viņu, viņš, šķiet, uzmanīgi ar abām rokām pacēla virs galvas kādu neredzamu, dārgu lietu, turēja to tā vairākas sekundes un pēkšņi izmisīgi iemeta:
Ak, tu, mana nojume, mana nojume!
“Mans jaunais nojume...”, atbalsojās divdesmit balsis, un karotes turētājs, neskatoties uz sava munīcijas smagumu, strauji lēca uz priekšu un gāja atmuguriski kompānijas priekšā, kustinot plecus un kādam draudot ar karotēm. Karavīri, vicinādami rokas dziesmas ritmā, gāja gariem soļiem, neviļus atsitoties pa kājām. Aiz kompānijas aizmugures atskanēja riteņu skaņas, atsperu čīkstēšana un zirgu mīdīšana.
Kutuzovs un viņa svīta atgriezās pilsētā. Virspavēlnieks deva zīmi, lai cilvēki turpinātu brīvi staigāt, un viņa sejā un visās viņa svītas sejās izpaudās prieks par dziesmas skaņām, ieraugot dejojošo karavīru un karavīrus. kompānija soļo jautri un ņipri. Otrajā rindā no labā flanga, no kura kariete apsteidza rotas, neviļus acīs iekrita zilacains karavīrs Dolohovs, kurš īpaši žigli un graciozi gāja dziesmas ritmā un skatījās uz viņu sejām. garāmejošajiem ar tādu sejas izteiksmi, it kā viņam būtu žēl ikviena, kas šajā laikā negāja kopā ar kompāniju. Huzāra kornete no Kutuzova svītas, imitējot pulka komandieri, atkrita no karietes un piebrauca pie Dolokhova.
Huzāra kornets Žerkovs savulaik Sanktpēterburgā piederēja tai vardarbīgajai sabiedrībai, kuru vadīja Dolohovs. Ārzemēs Žerkovs tikās ar Dolokhovu kā karavīru, taču neuzskatīja par vajadzīgu viņu atzīt. Tagad, pēc Kutuzova sarunas ar pazemināto vīrieti, viņš vērsās pie viņa ar sena drauga prieku:
- Dārgais draugs, kā tev iet? - viņš teica, skanot dziesmai, saskaņojot sava zirga soli ar kompānijas soli.
- Es esmu kā? - Dolohovs auksti atbildēja, - kā redzat.
Dzīvespriecīgā dziesma īpašu nozīmi piešķīra nekaunīgajam jautrības tonim, ar kādu Žerkovs runāja, un Dolokhova atbilžu apzinātajam aukstumam.
- Nu, kā tu saproti ar savu priekšnieku? – jautāja Žerkovs.
- Nekas, labie cilvēki. Kā jūs nokļuvāt galvenajā mītnē?
- Norīkots, dežūrē.
Viņi klusēja.
"Viņa izlaida piekūnu no labās piedurknes," teikts dziesmā, neviļus izraisot jautru, jautru sajūtu. Viņu saruna, iespējams, būtu citādāka, ja viņi nebūtu runājuši dziesmas skaņās.
– Vai tā ir taisnība, ka austrieši tika piekauti? – jautāja Dolohovs.
"Velns tos pazīst," viņi saka.
"Es priecājos," Dolohovs atbildēja īsi un skaidri, kā to prasa dziesma.
"Nu, nāciet pie mums vakarā, jūs ieķīlāsit faraonu," sacīja Žerkovs.
– Vai arī jums ir daudz naudas?
- Nāc.
– Tas ir aizliegts. Es devu solījumu. Es nedzeru un nespēlēju, kamēr viņiem tas neizdodas.
- Nu, pie pirmās lietas...
- Tur redzēsim.
Atkal viņi klusēja.
"Jūs nāciet iekšā, ja jums kaut kas vajadzīgs, visi štābā palīdzēs..." sacīja Žerkovs.
Dolohovs pasmaidīja.
- Labāk neuztraucies. Es neprasīšu neko, kas man vajadzīgs, es to ņemšu pats.
- Nu, es esmu tik...
- Nu, es arī.
- Uz redzēšanos.
- Būt veselam…
... un augstu un tālu,
Mājas pusē...
Žerkovs pieskārās zirgam ar piešiem, kurš, aizraujoties, trīs reizes iespēra, nezinot, ar kuru lai iesāk, tika galā un aizskrēja, apdzenot kompāniju un panākot karieti, arī dziesmas ritmā.

Atgriezies no apskates, Kutuzovs Austrijas ģenerāļa pavadībā iegāja savā kabinetā un, piezvanījis adjutantu, lika viņam izsniegt dažus dokumentus, kas saistīti ar ierodas karaspēka stāvokli, un vēstules, kas saņemtas no erchercoga Ferdinanda, kurš komandēja progresīvo armiju. . Kņazs Andrejs Bolkonskis ienāca virspavēlnieka kabinetā ar nepieciešamajiem papīriem. Kutuzovs un Austrijas Gofkriegsrat loceklis sēdēja uz galda noliktā plāna priekšā.
— Ak... — Kutuzovs atskatījās uz Bolkonski, it kā ar šo vārdu aicinātu adjutantu pagaidīt, un turpināja iesākto sarunu franciski.
"Es saku tikai vienu lietu, ģenerāli," Kutuzovs teica ar patīkamu izteiksmes graciozitāti un intonāciju, kas lika jums uzmanīgi klausīties katru nesteidzīgi izrunāto vārdu. Bija skaidrs, ka pašam Kutuzovam patika klausīties sevī. "Es saku tikai vienu, ģenerāli, ka, ja lieta būtu atkarīga no manas personīgās vēlmes, tad Viņa Majestātes imperatora Franča griba jau sen būtu izpildīta." Es jau sen būtu pievienojies erchercogam. Un ticiet manam godam, man personīgi būtu prieks nodot augstāko armijas vadību zinošākam un prasmīgākam ģenerālim par mani, kuru Austrijā ir tik daudz, un no visas šīs smagās atbildības atteikties. Bet apstākļi ir stiprāki par mums, ģenerāli.
Un Kutuzovs pasmaidīja ar tādu izteiksmi, it kā teiktu: “Jums ir visas tiesības man neticēt, un pat man ir pilnīgi vienalga, vai tu man tici vai nē, bet tev nav iemesla man to teikt. Un tā ir visa būtība."
Austriešu ģenerālis izskatījās neapmierināts, taču nevarēja neatbildēt Kutuzovam tādā pašā tonī.
— Gluži otrādi, — viņš teica kašķīgā un dusmīgā tonī, tik pretēji viņa teikto vārdu glaimojošajai nozīmei, — gluži otrādi, Viņa Majestāte augstu vērtē jūsu Ekselences līdzdalību kopējā lietā; bet mēs uzskatām, ka pašreizējā palēnināšanās atņem krāšņajam krievu karaspēkam un to virspavēlniekiem tos laurus, kurus viņi ir pieraduši plūkt kaujās,” viņš pabeidza savu šķietami sagatavoto frāzi.
Kutuzovs paklanījās, nemainot smaidu.
"Un es esmu tik pārliecināts un, pamatojoties uz pēdējo vēstuli, ar kuru mani pagodināja Viņa Augstība erchercogs Ferdinands, pieņemu, ka Austrijas karaspēks tik prasmīga palīga kā ģenerālis Maks vadībā tagad ir izcīnījis izšķirošu uzvaru un vairs nav. vajadzīga mūsu palīdzība,” sacīja Kutuzovs.
Ģenerālis sarauca pieri. Lai gan nebija nekādu pozitīvu ziņu par austriešu sakāvi, bija pārāk daudz apstākļu, kas apstiprināja vispārējās nelabvēlīgās baumas; un tāpēc Kutuzova pieņēmums par austriešu uzvaru bija ļoti līdzīgs izsmieklam. Bet Kutuzovs lēnprātīgi pasmaidīja, joprojām ar tādu pašu izteiksmi, kas teica, ka viņam ir tiesības to pieņemt. Patiešām, pēdējā vēstule, ko viņš saņēma no Maka armijas, informēja viņu par uzvaru un armijas izdevīgāko stratēģisko pozīciju.

Apsveriet jaudas funkciju

Rīsi. 23

Kur P- dabiskais skaitlis. Atvasinājums w" = nzn ~ 1 pastāv un nav nulle visos punktos z f 0, z f oo. Tāpēc kartēšana, kas veikta pēc funkcijas (10.1.), ir konformāla visos punktos, izņemot z = 0 h z = oo. Ja mēs pierakstām mainīgos z Un w demonstratīvā formā, z = re l w - re 1в, tad (10.1) noved pie vienādībām

(mēs jau esam apsvēruši kartēšanu (10.1) šim gadījumam P= 2 5.1. piemērā). No tā ir skaidrs, ka apļi z = g pārveidot par apļiem |-w| = g", leņķis 0 ip a 2 tas/n, ar virsotni sākumā, kas atrodas mainīgā plaknē z, tiek parādīts 0 leņķī w plaknē. Līdz ar to kartē tiek pārkāpta atbilstība punktā z =0 : leņķi šajā punktā palielinās, kad tiek parādīts P vienreiz. Ir viegli parādīt, ka kartēšana (10.1) šajā punktā nav konformāla z = oo(izmēģini pats).

Ļaujiet punktiem z Un z-2 ir tādi Z2 = P^2. Viegli saskatāms

ko tu domā Z f 22, un Zo= g”e /n ar virsotni sākuma punktā.

Lai ieviestu apgrieztās jaudas funkciju, mums ir vajadzīgas šādas definīcijas.

Sarežģīta mainīgā daudzvērtību funkcija ir noteikums (likums), saskaņā ar kuru kompleksais skaitlis z no daudziem D atbilst vairākiem (iespējams, bezgalīgi daudziem) kompleksajiem skaitļiem w.

Visas iepriekš apspriestās funkcijas (izņemot Argz funkciju) bija vienas vērtības. Argz funkcijai ir vairākas vērtības:

kur argz ir argumenta galvenā vērtība un uz - jebkurš vesels skaitlis. Turpmāk saskaņā ar termiņu funkciju, lietots bez paskaidrojumiem, nozīmē nepārprotamu funkciju; pētāmo funkciju polisēmija vienmēr tiks precizēta papildus.

Lai funkcija w = f(z) parāda apgabalu D pa reģionu E. Apgriezti funkcijai w = f(z) sauc par funkciju (vispārīgi runājot, vairāku vērtību) z = g(w), definēts pēc apgabala E, kas katram kompleksajam skaitlim w € E atbilst visiem kompleksajiem skaitļiem z € D, tāds, ka f(z) = w.

Citiem vārdiem sakot, apgrieztā funkcija w = f(z),- tas ir noteikums, saskaņā ar kuru katrs punkts w € E visi tā prototipi atbilst z € D.

Ja funkcija Un)= /(r) ir vienvērtīga D, tad apgrieztā funkcija ir vienvērtīga (un arī vienvērtīga) E Ja w = f(z) nav vienvērtīga, tad apgrieztā funkcija būs daudzvērtīga. Piemēram, funkcijas apgrieztā vērtība w = z n ir daudzvērtīga funkcija z — y/w: Katra w vērtība, kas atšķiras no 0 un oo, atbilst P dažādas saknes nth grādi, kas noteikti pēc formulas (2.12.). Cipariem 0 un oc ir viena sakne: >/0 = 0, >/oo = oo.

Teorēma 10.1. Lai funkcija w = f(z) ir vienvērtīga un apolitiska domēnā D, kartē D domēnā E un f"(z) φ 0. Tad arī apgrieztā funkcija z = g(w) ir apolitiska jomā E un

Pierādījums. Labosim patvaļīgu punktu z € D un veiciet pieaugumu Az f 0. Pēc tam funkcijas univalences dēļ w= /(g), atbilstošais pieaugums Ak! = f(z + Az) — f(z) arī nav vienāds ar nulli. Tāpēc

Kopš funkcijas w = f(z) ana/shtichnaya, tad tas ir nepārtraukts punktā z. Tāpēc Ak!-> 0 plkst Az-> 0, un vienlīdzības dēļ ir taisnība arī otrādi: Az-y 0 plkst Ak!-> 0. No šejienes

Q.E.D.

Funkcijas arguments z = g(tv), otrādi w =/(-r), ir mainīgais w. Tā kā funkcijas arguments bieži tiek apzīmēts ar 2, vienveidības labad mainīgie tiek apzīmēti ar 2 z Un w un rakstiet w = g(z). Piemēram, apgrieztā funkcija uz w = z n tiks rakstīts kā w = yfz.

Apskatīsim funkciju tuvāk w = y/z. Kā minēts iepriekš, tas ir daudzvērtīgs. Tomēr ir iespējams definēt šo funkciju sarežģītākas ierīces komplektā nekā kompleksajā plaknē, kurā funkcija w = y/z kļūs viens pret vienu un nepārtraukts. Aprakstīsim atbilstošo kopu. Ņemsim P kopijas (“loksnes”) Dariet, D,..., D n -i komplekso plakni, sagriež pa pozitīvo pusasi un novieto vienu virs otras (24. att., A parādīts gadījums P= 4). Tad šī mala tiek atvērta

Rīsi. 24, A

ārpus zonas, kurai mēs tuvojamies no apakšas stara Ak!(t.i., bet puslidmašīnas plkst D pielīmēts pie griezuma vietas augšējās malas D-2 utt., līdz salīmējam griezuma apakšējo malu D n -h ar griezuma augšējo malu Dn -. Tagad mēs pielīmēsim atlikušo brīvo griezuma laukuma apakšējo malu Dn-(24. attēlā, A tas ir D 3) ar griezuma laukuma augšējo malu darīt- Trīsdimensiju telpā šādu līmēšanu nevar veikt, nesagriežot starploksnes ar jau veiktiem līmēšanai. Bet mēs piekritīsim uzskatīt, ka šī līmēšana ir nesavienota ar iepriekšējiem (t.i., šīs līmēšanas punkti tiek uzskatīti par atšķirīgiem no citu līmējumu punktiem). Iegūtā virsma ir parādīta attēlā. 24, 6 . Tas tiek saukts Rīmaņa virsma funkcijas w = fz. Virs katra kompleksās plaknes punkta, kas atšķiras no 0 un os, atrodas precīzi P Rīmaņa virsmas punkti. Punkti X> 0 no reālās pusass nav izņēmums, jo visi līmējumi, kas atrodas virs tā, tiek uzskatīti par nesavienotiem. Tikai diviem punktiem nav šīs īpašības: z = 0 un z = os. Visas Riemann virsmas loksnes tiek uzskatītas par salīmētām punktos, kas atrodas virs punktiem z= 0 un z= oo.

Tagad definēsim funkciju w = s/z uz konstruētās Rīmaņa virsmas. Atgādināsim, ja z- re,v? , tad visas n-tās saknes z nosaka pēc formulas (2.12.):

Rīsi. 24, b

Stūris y>šajā formulā jūs varat izvēlēties jebkuru intervālu ar garumu 27g; mums ir ērti pieņemt, ka 0 ^ ip

Uz punktiem z = re t guļ uz palaga Dariet un līmēšana Dariet ar D n _1 saknes vērtību saskaņojam ar Uz= 0; punkti, kas atrodas uz lapas D 1 un līmēšana D c Do, - saknes vērtība c Uz= 1. Kopumā punkti, kas atrodas uz D* par 1 ^ Uz ^ P- 1, un D* līmēšana ar D*._i atbilst saknes vērtībai ar doto Uz. Konstruētā korespondence būs vienas vērtības funkcija uz Rīmaņa virsmas.

Ir viegli parādīt, ka šī funkcija kartē Rīmaņa virsmu viens pret vienu uz visu komplekso plakni. Tiešām,

~ - * 2TG* 27g(&+1) " -

lapa un uz tiks parādīts stūrī

Parādīsim, ka arī šī kartēšana ir nepārtraukta. Ja punkts z atrodas uz lapas D* ar griezumu, tad nepārtrauktība šajā punktā izriet tieši no formulas (10.3) ar fiksētu Uz. Demonstrēšanai

nepārtrauktība līmēšanas punktos, apsveriet kontūru uz Rīmaņa virsmas, kas sastāv no punktiem, kas atrodas virs apļa z= 1 kompleksa plakne. Sāksim apbraukt šo kontūru no punkta g, kas atrodas loksnes griezuma augšējā malā Autors. Tā kā r = 1, kr = 0, Uz= 0, tad w = y/z= 1. Apbraucot loksnē pirmo kontūras apgriezienu Dariet gribu f 2i G

G-2 T . . 2 T: _ m

Un Vz-> cos - + i sin -. Pārvietošanās pa līmēšanu uz loksnes P. mēs tiksim galā lpp. lpp

-f + 2 T . f + 2 T

definīcija, l/g = cos-+ g sin- (kopš k = 1). It īpaši,

plkst = 0 būs tā pati sakņu vērtība, kurai mēs tuvojāmies, tuvojoties lapas griezuma apakšējai malai Dariet. Tas nozīmē, ka līmēšanas vietās Autors Ar P funkciju sfz būs nepārtraukts. Saknes nepārtrauktība tiek parādīta līdzīgi, pārejot no Dk-i D* pulksten 1 ^ Uz ^ P - 1. Visbeidzot, apejot kontūru pa loksni D„_ 1 un tuvojoties sekcijas apakšējai malai, iegūstam Uz = 11 - 1, f- Ak 2 T, Un

tie. tā pati vērtība, no kuras mēs sākām pie loksnes griezuma augšējās malas P 0 . Tādējādi funkciju>/g būs nepārtraukts visos Rīmaņa virsmas punktos. Kā funkcija apgriezta analītiskajai funkcijai, tā ir arī unikāla analītiskā funkcija uz šīs virsmas (izņemot punktus z= 0 un z= oo).

Paņemsim jebkuru apli z= r kompleksajā plaknē, kas aptver punktu z = 0.Šis aplis aptvers arī punktu n z= oo. Apejot kontūru uz Rīmaņa virsmas, kas sastāv no punktiem, kas atrodas virs šī apļa, mēs pāriesim no vienas Rīmaņa virsmas loksnes uz otru. Tāpēc punkti z= 0 un z= oo tiek saukti atzarojuma punkti. Nevienam citam punktam nav aprakstītā īpašība: ja ņemam apli, kura centrs atrodas punktā z f 0, z f oo, kas nesatur punktu 0, tad veidojas attiecīgie punkti uz Rīmaņa virsmas P apļi, kas nav saistīti viens ar otru. Apejot katru no tiem, mēs netiksim tālāk par vienu un to pašu palagu.

Viennozīmīga analītiskā jomā D funkciju f(z) sauca regulāra filiāle daudzvērtīga funkcija F(z), definēts tajā pašā apgabalā, ja vērtība f(z) katrā reģiona punktā D atbilst vienai no vērtībām F(z)šajā brīdī.

Daudzvērtīga funkcija F(z) ir unikāla un analītiska uz tās Riemann virsmas (izņemot atzarojuma punktus). Tāpēc iespēja izcelt jomā D regulārs zars nozīmē, ka ir iespējams noteikt šo reģionu uz Rīmaņa virsmas bez griešanas D un nepieskaroties atzarojuma punktiem. Pārklājums D Tajā pašā laikā tas pilnībā jānoklāj uz vienas loksnes vai jānolaižas, līmējot no vienas loksnes uz otru (kā paklājs uz kāpnēm). Piemēram, gredzens 1 z F(z) = sfz, lpp^2 kopš gredzena punktiem.

atrodas virs pozitīvās pusass, vienlaikus jānokrīt uz dažādām loksnēm, kas nav iespējams. Bet, ja jūs nogriežat gredzenu jebkurā rādiusā, tad šāds izvietojums kļūst iespējams. Tajā pašā laikā vieta D uz Rīmaņa virsmas tas ir iespējams P veidos (un tāpēc izceļas D lpp dažādas funkciju filiāles y/z). Lai atlasītu konkrētu atzaru, pietiek norādīt funkcijas vērtību jebkurā apgabala punktā D. Tas norāda uz Rīmaņa virsmas loksni, uz kuras atrodas šis punkts, kas nozīmē, ka visa reģiona atrašanās vieta ir fiksēta D.

Piemērs 10.2. Izsniedz regulāru filiāli f(z) funkcijas w =

2 = e ttp : - -

Risinājums: apgabals D ir sarežģīta plakne ar griezumu, bet iedomātu pusasi plkst^ 0. Tas nozīmē, ka regulāras filiāles atlase D Var būt. Saskaņā ar formulu (10.3)

Lai izolētu filiāli /(r), jums jāatrod piemērota A* vērtība. Tā kā /(1) = r, tad aizstājot ip= 0, r = 1, mēs iegūstam

no kurienes tas izriet Uz= 1. Tātad, vēlamais zars

It īpaši,

Mēs izveidojām funkcijas Rīmaņa virsmu w == fz, griežot komplekso plakni C pa pozitīvo pusasi. Ņemiet vērā, ka griešanas līnijas izvēle nav būtiska: līdzīgu konstrukciju var veikt, piemēram, nogriežot C pa jebkuru staru, kas izplūst no sākuma.

Pieņemsim, ka z=x+iyЄC, tad pēc definīcijas e z =e x (cos(y)+i∙sin(y)).

Funkcija w=e z ir definēta uz visu C, tā ir analītiska uz C, jo

W=u+iv=e x (cos(y)+i∙sin(y)) _ (u=e x cos(y), v=e x sin(y)] _ u,vЄC 1 (R 2) un nosacījumi tiek izpildīti Košī-Rīmans: ∂u/∂x=e x cos(y), ∂v/∂y=e x cos(y), ∂u/∂y=-e x sin(y), ∂x/∂x=e x sin( y) _ (∂y/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x] _ w=e z – S analītiskā funkcija. (e z)"=∂(e x ( cos(y)+i∙sin(y)))/∂x=e x (cos(y)+i∙sin(y))=e z .

sz 1 ,z 2 ЄC e z 1 ∙e z 2 =e z 1+ z 2 , jo e z 1 ∙e z 2 =e x 1 (cos(y 1)+i∙sin(y 1)), e x 2 =(cos(y 2)+i∙sin(y 2))=e x 1+ x 2 (cos (y 1 + y 2) + i∙sin(y 1 + y 2)) = e z 1 + z 2. Kad z=x, tiek iegūts funkcijas w=e z ierobežojums uz reālo līniju - funkciju e x.

Funkcija w=e z ir periodiska ar periodu T=2πi, e z +2π i =e z ∙e 2π i, e 2π i =e 0 (cos(2π)+i∙sin(2π))=1 _ e z +2π i =e z , szЄC.

Pieņemsim, ka e z 1 = e z 2, reiziniet ar e - z 2: e z1-z2 = 1. Skaitlis z 1 -z 2 =T 1 +i∙T 2 _ e T 1+ i ∙ T 2 =1 _ e T 1 (izmaksas T 2 +i∙sinT 2)=1; e T 1 =1, izmaksas T 2 =1, sinT 2 =0 _ T 1 =0, T 2 =2πk _z 1 -z 2 =2πki _ T=2πi – periods. Tātad, ja apgabals D nesatur punktus z 1 un z 2, lai z 1 -z 2 =2πki, kЄZ, tad apgabals D ir funkcijas w=e z viena uzdevuma apgabals. Attiecībā uz D varat skatīt attēlu.

Vairāk par 6. tēmu. Eksponenciālā funkcija w=ez un tās galvenās īpašības:

1. 1 Tiesību zinātnes jēdziens, pamatīpašības un klasifikācija. TGP metodoloģija.
2. Audzēju pamatīpašības. Mitozes un apoptozes patoloģija.
3. 39. Aprakstiet apdrošināšanas sabiedrību mērķus un funkcijas. Formulējiet apdrošināšanas darbības galvenos virzienus.
4. Teikumi ar izolētiem locekļiem (izolācijas jēdziens; izolētu teikuma dalībnieku funkcijas). Atdalīšanas pamatnosacījumi. Izolētu biedru un revolūciju šķirnes.

19.2.1. Definīcija kompleksa mainīgā funkcija neatšķiras no funkcionālās atkarības vispārējās definīcijas. Atgādināsim , Kas novads plaknē mēs saucam jebkuru atvērtu savienotu šīs plaknes punktu kopu. Novads vienkārši savienots, ja jebkurš apakšdomēns, ko ierobežo nepārtraukta slēgta pašizdalīšanās līkne, kas atrodas šajā domēnā, pilnībā pieder šim domēnam.

Apsveriet divas komplekso skaitļu plaknes: C = {z | z = x + iy ) Un W = {w | w = u + iv ). Ielaid lidmašīnā AR norādītā platība D un tiek dots noteikums, kas piešķir katru punktu
noteikts kompleksais skaitlis
. Šajā gadījumā viņi saka, ka šajā jomā D noteikts vienvērtības funkcija w = f (z ) (vai definēts displejs
). Novads D sauc par funkcijas definīcijas domēnu, kopa ir funkcijas vērtību kopa (vai domēna attēls D kad tiek parādīts f .

Ja visi
tiek piešķirtas vairākas vērtības
(t.i., punkts z ir vairāki attēli), tad funkcija w = f (z ) tiek saukts polisemantisks.

Funkcija w = f (z ) sauc par o apakšējās lapas apgabalā
, ja tas kartē apgabalu viens pret vienu D pa reģionu
(t.i., katrs punkts
ir viens attēls
, un atpakaļ, katrs punkts
ir viens prototips
.

19.2.2. Sarežģīta mainīgā funkcijas reālā un iedomātā daļa. Jo

w = u + iv , z = x + iy , tad atkarība w = f (z ) var rakstīt formā

w = u + iv = f (z ) = f (x + iy ) = Re f (x + iy ) + i ES esmu f (x + iy ). Tādējādi kompleksas vērtības fu piešķiršana funkcijas w = f (z ) kompleksais mainīgaisz ir līdzvērtīgs divu reālu funkciju norādīšanaiu = u (x , y ) = Re f (z ), v = v (x , y ) = Es f (z ) divi reāli mainīgie X , plkst .

Piemēri: 1. w = z 3. Mēs izsakām z 3 cauri X ,plkst : z 3 = (x + iy ) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z . Šeit

Tālāk mēs formulēsim daudzas FCP īpašības (sarežģīta mainīgā funkcijas) tās reālās daļas izteiksmē. u (x , y ) un iedomātā daļa v (x , y ), tāpēc šo daļu izolēšanas tehnikai jābūt labi izstrādātai.

19.2.3. FKP ģeometriskais attēls. Funkcijas iestatīšana w = f (z ) kā pāriem

u = u (x , y ), v = v (x , y ) iesaka attēlot PCF kā virsmu pāri u (x , y ), v (x , y ) trīsdimensiju telpā, tomēr šī metode ir neērta, jo neļauj saprast pāri ( u , v ) kā komplekss skaitlis. Dažreiz tiek attēlota virsma, ko sauc atvieglojums funkcijas w = f (z ) . Šai virsmai tiek pielietotas Arg funkciju līmeņa līnijas f (z ) ; Ja jums ir pieredze, šī informācija ir pietiekama, lai iegūtu priekšstatu par funkcijas izmaiņām polārajās koordinātēs. Tomēr universāls veids, kā attēlot PCF, ir zīmēt kopas, kas atbilst viena otrai attiecīgajā kartējumā. Visbiežāk viņi ņem koordinātu līnijas (Dekarta vai polārās koordinātas) un atrod savus attēlus.

Piemēri. 1. Lineārā funkcija w = a z + b , kur ir fiksēti kompleksie skaitļi, a 1 , b 1 - to īstās daļas, a 2 , b 2 - to iedomātās daļas.

Iedomāsimies šo funkciju kā divu funkciju superpozīciju: w 1 = az Un w = w 1 + b . Displejs
, saskaņā ar skaitļu reizināšanas interpretāciju trigonometriskā formā, noved pie skaitļa argumenta palielināšanās (samazināšanās) z lai arg a un tā moduļa stiepšana (saspiešana) | a | vienreiz; displejs
noved pie punkta maiņas: w 1 uz vektoru: b (b 1 , b 2). Tātad lineārā funkcija w = a z + b stiepjas (ar
) katrs vektors z in | a | reizes (vai saspiež to reizes plkst. | a | <1), поворачивает на угол arg a un nobīdes pēc vektora b . Rezultātā visas taisnes tiek pārvērstas taisnās līnijās, apļi – apļos.

2. Jaudas funkcija w = z 2. Apsveriet šo funkciju augšējā pusplaknē

C + = {z | y = Es z >0). Demonstrējošā formā w = z 2 = (|z | e i arg z ) 2 = |z | 2 e 2 i arg z . Līdz ar to pusloks pārvēršas par apli ar caurdurtu punktu,

stars - starā. Visa augšējā pusplakne AR + iekāpj lidmašīnā W ar izmestu pozitīvo asi.

P Ļaujiet mums attēlot šo kartējumu Dekarta koordinātēs. Jo

w = z 2 = (x + iy ) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy , Tas u (x , y ) = x 2 - y 2 , v (x , y ) = 2 xy . Atradīsim koordinātu līniju attēlus. Taisni y = y 0 nonāks līknē, kuras parametriskie vienādojumi ir u = x 2 – y 0 2 ,

v = 2 xy 0 (X - parametrs). Izslēdzot X , iegūstam parabolas vienādojumu
. Rejs
dosies uz u = x 0 2 – y 2 ,

v = 2 x 0 y (parametrs y >0). Izslēdzot plkst , iegūstam parabolas zaru
.

No v = 2 x 0 y tam seko v saglabā zīmi x 0 , tāpēc šis būs augšējais zars plkst x 0 > 0 un zemāks pie x 0 <0. Луч x 0 = 0 pāries starā u < 0, v = 0.

Mēs apsveram funkciju w = z 2 augšējā pusplaknē AR + , neskatoties uz to, ka tas ir definēts visā plaknē AR , tāpēc, ka šajā pusplaknē tas ir vienvērtīgs. Apakšējā pusplakne C - = {z | y = Es z <0} при отображении w = z 2 aptvers arī visu plakni W (izņemot pozitīvo pusasi). Ja ņemam vērā visu lidmašīnas attēlu AR saskaņā ar šo kartējumu, tas sastāvēs no divām plaknes kopijām W (divas loksnes, kas aptver šo plakni).

Izmantojot šo piemēru, mēs ieguvām algoritmu līniju un laukumu attēlu konstruēšanai parādīšanas laikā w = f (z ). Ja w = u (x , y ) + iv (x , y ), pēc tam, lai atrastu līnijas attēla vienādojumu L : F (x , y ) = 0, kad tiek parādīts, tas ir nepieciešams no vienādojumu sistēmas
izslēgt mainīgos X Un plkst ; rezultāts būs vienādojums
līnijas attēls L lidmašīnā W . Lai atrastu apgabala attēlu D , ko ierobežo slēgta līkne L , mums jāatrod šīs līnijas attēls, ja attēls ir slēgta līnija, tad mums ir jānosaka, vai tas iet D zonā, ko ierobežo šī līnija, vai šīs zonas ārpusē.

P piemērs: ļauj z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + i , z 3 = 1 + 2 i . Atrodiet trīsstūra attēlu z 1 z 2 z 3, kad tiek parādīts w = z 2 .

Atrodiet, kur tiek parādītas trīsstūra virsotnes. w 1 = z 1 2 = (1 + i ) 2 = 1 + 2i - 1 = 2i ;

w 2 = z 2 2 = (2 + i ) 2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i ;

w 3 = z 3 2 = (1 + 2i ) 2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i . Sānu z 1 z 2 ir daļa no līnijas plkst =plkst 0 =1. Šī līnija, kā mēs redzējām, veido parabolu
. Mums ir vajadzīga daļa no šīs parabolas starp punktiem w 1 un w 2. Tālāk, pusē z 1 z 3 ir daļa no taisnas līnijas X =X 0 =1, kartēts parabolā
; ņem šīs parabolas posmu starp punktiem w 1 un w 3. Sānu z 2 z 3 atrodas uz taisnas līnijas X +plkst =3; šīs līnijas attēla vienādojumu iegūstam, izslēdzot no sistēmas
mainīgie X Un plkst : . Šīs parabolas sadaļa starp punktiem w 2 un w 3 un sniegs sānu attēlu z 2 z 3. Tiek konstruēts trīsstūra attēls. Ir viegli pārbaudīt, vai laukums, ko ierobežo šis trijstūris, ieiet līknes trīsstūra iekšpusē w 1 w 2 w 3 (šim nolūkam pietiek atrast, piemēram, šī apgabala viena punkta attēlu).

3. Vispārīgāka jaudas funkcija w = z n , Kur n - naturāls skaitlis, darbojas līdzīgi kā funkcija w = z 2. Jo w = z n = (|z | e i arg z ) n = |z | n e i n arg z , tad šī kartēšana palielinās par n reizes visi leņķi ar virsotni punktā z= 0. Jebkuri divi punkti z 1 un z 2 ar identiskiem moduļiem un argumentiem, kas atšķiras ar daudzkārtni (un tikai viņi) pāriet uz vienu punktu w , t.i. "salīmējiet kopā", kad tas tiek parādīts. Līdz ar to karte nav vienvērtīga nevienā domēnā, kurā ir šādi punkti. Piemērs reģionam, kurā šī kartēšana ir vienvērtīga - sektors
. Šis sektors tiek pārveidots par apgabalu, t.i. lidmašīnā W ar izmestu pozitīvo asi. Jebkurš risinājuma sektorā ietvertais laukums ir mazāks , viennozīmīgi parādīts W .

19.2.4. FCP ierobežojums.

Definīcija.Ļaujiet funkcijai w = f (z ) ir definēts punkta caurdurtajā apkārtnē z 0 = x 0 + iy 0 . Komplekss skaitlis w 0 = u 0 + iv 0 sauc par funkcijas robežu pie
, ja par kādu - apkaime
(>0) punkti w 0 ir tāds caurdurts - apkaime
punktus z 0, kas ir visiem
vērtības f (z ) pieder
. Citiem vārdiem sakot, ja z 0 ir pareizais plaknes punkts, tad jebkuram >0 tādai lietai jābūt >0, kas ir no nevienādības
seko nevienlīdzība
(nepareiza punkta definīcija ir uzrakstīta līdzīgā veidā
). Tādējādi valodā -PCF robežas definīcija pilnībā sakrīt ar viena reāla mainīgā funkcijas robežas definīciju; limits ir norādīts kā parasti:
.

Nevienlīdzība
nozīmē, ka vai . Komplekso skaitļu modulim ir spēkā visas absolūtās vērtības pamatīpašības, jo īpaši, tāpēc no šejienes ir viegli iegūt, ka

. Tādējādi kompleksa mainīgā funkcijas robežas esamība ir līdzvērtīga divu reālu funkciju robežu esamībai. u (x , y ) Un v (x , y ) divi reāli mainīgie. Tāpēc visas teorēmas par funkcijas robežām punktā (funkciju summas robeža utt.) tiek automātiski pārnestas uz komplekso analīzi. Var arī pierādīt, ka, ja , tad
(lai pastāvētu nulles robeža, pietiek ar to
).

19.2.5. FKP nepārtrauktība.Ļaujiet funkcijai w = f (z ) ir definēts punkta tuvumā z 0 = x 0 + iy 0 . Tiek uzskatīts, ka funkcija ir nepārtraukta punktā z 0, ja:

Tāpat kā limita gadījumā, to var parādīt w = f (z ) punktā būs nepārtraukts z 0 = x 0 + iy 0 tad un tikai tad, ja funkcijas u (x , y ) Un v (x , y ) ir nepārtraukti punktā ( x 0 , y 0), tāpēc visas galvenās teorēmas par funkciju nepārtrauktību tiek pārnestas uz PCF.