Odsjek za upravljačke informacione sisteme

Nastavni rad iz automatizacije na temu: “Analiza i sinteza sistema automatskog upravljanja”.

Završeno:

Opcija 7

Provjereno:

Moskva 2008

Uvod 4

Računski i grafički dio: 6

1. Određivanje prijenosne funkcije W(p) 6

2.Definicija prijenosne funkcije W(p) 7

3. Određivanje prijenosne funkcije W(p) 9

4. Određivanje prijenosne funkcije W(p) 10

5. Proračun prelaznog procesa kontrolisanog parametra u ACS 13

6. Određivanje indikatora kvaliteta kontrole i maksimalno regulisanog parametra. 15

7. Određivanje regulatornih indikatora kvaliteta 15

8. Konstrukcija LFC-a nepromjenjivog dijela ACS-a otvorene petlje 15

9. Izgradnja željenog LFC-a 17

10. Određivanje LFC-a korektivna jedinica 19

11.Definicija prijenosne funkcije otvoreni samohodni sistem upravljanja prema željenom LFC-u 19

12.Definicija prijenosne funkcije korektivna jedinica prema LACCH 20

13. Proračun prelaznog procesa prilagođenog ACS 21

14. Određivanje margine stabilnosti podešenog ACS-a u smislu amplitude i faze. 21

15. Određivanje pokazatelja kvaliteta regulacije prilagođenog AKS 23

Zaključak 25

Spisak korištenih izvora 26
UVOD

Automatsko upravljanje je najefikasniji princip automatizacije u parcijalnoj automatizaciji, kada tehnička sredstva automatizacije obavljaju samo jednostavne upravljačke funkcije povezane sa mjerenjem, analizom, kontrolom različitih fizičkih veličina i obradom odluka koje donosi operater u obliku postavki, programa ili drugi kontrolni signali.

Djelomična automatizacija zamijenjena je složenom automatizacijom, kada se vrši automatizacija ne samo upravljačkih funkcija, već i onih uzrokovanih generiranjem ovih signala ili donošenjem odluka na temelju ciljeva upravljanja. Trenutno su automatski sistemi upravljanja (ACS) glavno tehničko sredstvo za stvaranje automatizovanih proizvodnih objekata, radionica i tehnoloških procesa.

Složenost modernih automatskih sistema značajno je porasla. Ako su se u periodu djelimične automatizacije obično sastojali od zasebnih automatskih upravljačkih sistema, čije su međusobnu koordinaciju djelovanja vršili ljudi, sada postoji potreba za automatskom koordinacijom njihovih akcija i, posljedično, za stvaranjem složenih međusobno povezanih i višeslojni automatski kontrolni sistemi (ACS). Štaviše, na prvom nivou se proučavaju i automatizuju relativno jednostavni lokalni procesi upravljanja, a na drugom i narednim nivoima proučavaju se i automatizuju procesi upravljanja koji su opštije i složenije prirode.

U teoriji automatskog upravljanja mogu se razlikovati dva karakteristična zadatka:

· u datom ACS-u, pronalaženje i evaluacija prolaznih procesa je zadatak analize ACS-a;

· razviti ACS zasnovan na datim prolaznim procesima i glavnim indikatorima - to je zadatak sinteze ACS-a.

Drugi zadatak je teži zbog svoje dvosmislenosti, mnogo toga određuju kreativne sposobnosti dizajnera. Stoga se zadatak sinteze automatskih upravljačkih sistema obično postavlja na ograničen način. Pretpostavlja se da je glavni dio sistema već specificiran, što je obično slučaj. Potrebno je sintetizirati korektivne veze, tj. odaberite njihovu šemu i parametre. U ovom slučaju potrebno je da se, kao rezultat korekcije ACS-a, osigura potrebna margina stabilnosti, tačnost upravljanja u stacionarnim režimima i kvalitet upravljanja u dinamičkim režimima.

Sinteza automatskih sistema je glavna i praktično najvažnija primena rezultata dobijenih teorijom automatske regulacije i upravljanja.

Sinteza sistema je izbor njegove strukture i sastavnih elemenata – njihove fizičke prirode, dizajna i parametara. U ovom slučaju, svojstva sistema moraju zadovoljiti neke unaprijed utvrđene zahtjeve. Prikazana su oba opšta inženjerska zahtjeva u odnosu na dimenzije, težinu, cijenu, pouzdanost itd., kao i specifični zahtjevi - na statička i dinamička svojstva sistema, na kvalitet regulacije.

Cilj ovog kursa je analiza datog sistema automatskog upravljanja i njegova naknadna sinteza u cilju poboljšanja njegovih svojstava.

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

$W$-Lambertova funkcija je definirana kao inverzna funkcija od $f(w)=w\; e^w$, za kompleks $w$. Određeno $W(x)$ ili $\backslash operatorname(LambertW)(x)$. Za bilo koji kompleks $z$ određen je funkcionalnom jednadžbom:

$z=W(z)\; e^(W(z))$

$W$-Lambertova funkcija se ne može izraziti u elementarnim funkcijama. Koristi se u kombinatorici, na primjer, pri prebrojavanju broja stabala, kao i u rješavanju jednačina.

Priča

Funkcija je proučavana u radu Leonharda Eulera 1779. godine, ali nije imala samostalno značenje i naziv sve do 1980-ih. Uvedena je kao nezavisna funkcija u sistem kompjuterske algebre Maple, gdje je za nju korišteno ime LambertW. Ime Johann Heinrich Lambert izabrano je zato što se Ojler u svom radu pozivao na Lambertov rad i zato što bi "imenovanje druge funkcije po Euleru bilo beskorisno".

Polisemija

Od funkcije $f(w)$ nije injektivan na intervalu $(-\backslash infty,0)$, $W(z)$ je viševrijedna funkcija uključena $[-\backslash frac(1)(e),0)$. Ako se ograničimo na stvarno $z\; =\; x\backslash geqslant-1/e$ i potražnje $w\backslash geqslant\; -1$, definirat će se jednoznačna funkcija $W\_0(x)$.

Asimptotika

Korisno je znati asimptotičko ponašanje funkcije dok se približava određenim ključnim točkama. Na primjer, za ubrzavanje konvergencije prilikom izvođenja ponavljajućih proračuna.

$\backslash left.W(z)\backslash right|\_(z\; \backslash to\; \backslash infty)\; =\; \backslash log(z)-\backslash log(\backslash log(z))$

$\backslash left.W(z)\backslash right|\_(z\; \backslash to\; -\backslash frac(1)(e))\; =\; \backslash sqrt(\; 2\; (ez\; +\; 1)\; )-1$

Druge formule

$\backslash int\_(0)^(\backslash pi)\; W\backslash bigl(2\backslash cot^2(x)\; \backslash bigr)\backslash sec^2(x)\backslash ;\backslash mathrm\; dx\; =\; 4\backslash sqrt(\backslash pi)$ $\backslash int\_(0)^(+\backslash infty)\; W\backslash left(\backslash frac(1)(x^2)\backslash desno)\backslash ;\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash sqrt(2\backslash pi)$ $\backslash int\_(0)^(+\backslash infty)\; \backslash frac(W(x))(x\backslash sqrt(x))\backslash mathrm\; dx\; =\; 2\backslash sqrt(2\backslash pi)$

Svojstva

Razlikovanjem implicitne funkcije možemo dobiti da kada $z\backslash ne\; -\backslash tfrac(1)(e)$ Lambertova funkcija zadovoljava sljedeću diferencijalnu jednačinu:

$(dW\backslash preko\; dz)\; =\; \backslash frac(1)(z)\; \backslash frac(W(z))(W(z)+1).$ $e^(-c\; x)\; =\; a\_o\; (x-r\_1)\; (x-r\_2)\; ~~\backslash qquad\backslash qquad(2)$ a gdje su konstante r 1 i r 2 su korijeni ovog kvadratnog polinoma. U ovom slučaju, rješenje ove jednadžbe je funkcija s argumentom x, A r ja i a o su parametri ove funkcije. Sa ove tačke gledišta, iako ova generalizovana primena Lambertove W funkcije podseća na hipergeometrijsku funkciju i funkciju „Meijerova G“, ona pripada drugom tipu funkcije Kada r 1 = r 2, onda se obje strane jednačine (2) mogu pojednostaviti na jednačinu (1), a time se općenito rješenje pojednostavljuje na standardnu ​​W-funkciju. Jednačina (2) pokazuje definišuće ​​odnose u skalarnom dilatonskom polju, iz čega slijedi rješenje zadatka mjerenja linearne gravitacije uparenih tijela u dimenzijama 1+1 (mjerenje prostora i mjerenje vremena) u slučaju nejednakih masa. , kao i rješenje problema dvodimenzionalne stacionarne Schrödingerove jednadžbe s potencijalom u obliku Diracove delta funkcije za nejednake naboje u jednoj dimenziji. $e^(-c\; x)\; =\; a\_o\; \backslash frac(\backslash displaystyle\; \backslash prod\_(i=1)^(\backslash infty)\; (x-r\_i))(\backslash displaystyle\; \backslash prod\_(i=1)^(\backslash infty)\; (x-s\_i\; ))\; \backslash qquad\; \backslash qquad\backslash qquad(3)$ Gdje r ja i s ja sam konstante, i x je funkcija između unutrašnje energije i udaljenosti unutar jezgra R. Jednačina (3), kao i njeni pojednostavljeni oblici izraženi u jednadžbama (1) i (2), pripadaju tipu diferencijalnih jednačina odlaganja.

Primjena Lambertove W-funkcije na osnovne probleme u fizici nije ograničena na standardnu ​​jednačinu (1), kao što je nedavno pokazano u oblastima atomske, molekularne i optičke fizike.

Kalkulacija

$W$-funkcija se može približno izračunati korištenjem rekurentne relacije:

w_(j+1)=w_j-\frac(w_j e^(w_j)-z)(e^(w_j)(w_j+1)-\frac((w_j+2)(w_je^(w_j)-z) ) (2w_j+2))

Primjer programa u Pythonu:

import math def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 za i u xrange(100): wTimesExpW = w*math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): prekid ako ( prec<= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Za približan izračun možete koristiti formulu: !!!Data funkcija je slična, ali se više od 10% razlikuje od Lambertove funkcije

W(x) \približno \lijevo\( \begin(matrica) 0(,)665\cdot (1+0(,)0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0(,) 04 & \ :\ & 0 500 \\ \end(matrica) \desno.

Napišite recenziju o članku "Lambertova W-funkcija"

Linkovi

1. Corless et al. (1996). "". Adv. Computational Maths. 5 : 329-359.
2. T. C. Scott, R. B. Mann (2006). "". AAECC (primenljiva algebra u inženjerstvu, komunikaciji i računarstvu) 17 (1): 41–47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). "". SIGSAM (ACM posebna interesna grupa za simboličku i algebarsku manipulaciju) 47 (185): 75–83.
4. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang (2014). "". SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
5. P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). "". Klasa. Quantum Grav. 24 (18): 4647–4659. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.
6. T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). "". Chem. Phys. 324 : 323–338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
7. Maignan, Aude (2016). "Fleshing out the generalized Lambert W Function". SIGSAM 50 (2): 45–60. DOI:10.1145/2992274.2992275.
8. T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). "Čvorne površine vlastitih funkcija atoma helijuma". Phys. Rev. A 75 : 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
9. u paketu

Izvod koji karakterizira Lambertovu W-funkciju

- A drugi Austrijanac, s njim, bio je kao kredom namazan. Kao brašno, belo. Ja čaj, kako čiste municiju!
- Šta, Fedeshow!... je l' rekao da si ti, kad je počela borba, stao bliže? Svi su rekli da sam Bunaparte stoji u Brunovu.
- Bunaparte je vredan toga! on laže, budalo! Šta on ne zna! Sada se Prus pobuni. Austrijanac ga, dakle, smiruje. Čim sklopi mir, tada će se otvoriti rat sa Bunaparteom. Inače, kaže, Bunaparte stoji u Brunovu! To je ono što pokazuje da je budala. Slušajte više.
- Vidi, prokleti stanari! Peta četa, vidi, već skreće u selo, skuvaće kašu, a mi još nećemo stići do mesta.
- Daj mi kreker, dovraga.
- Da li si mi juče dao duvan? To je to brate. Pa, evo nas, Bog s tobom.
“Bar su se zaustavili, inače nećemo jesti još pet milja.”
– Bilo je lepo kako su nam Nemci dali kolica. Kada odete, znajte: važno je!
"I evo, brate, narod je potpuno pobesneo." Sve je tamo izgledalo kao Poljak, sve je bilo od ruske krune; a sad je, brate, potpuno Nijemac.
– Tekstopisci napred! – začuo se kapetanov povik.
I dvadesetak ljudi je istrčalo iz različitih redova ispred kompanije. Bubnjar je počeo da peva i okrenuo se licem ka tekstopiscima, i odmahnuvši rukom otpočeo otegnutu vojničku pesmu, koja je počinjala: „Zar nije svanulo, sunce stalo...“ i završavala se rečima : „Tako, braćo, biće slava i nama i ocu Kamenskog...“ Ova pesma je nastala u Turskoj, a sada se pevala u Austriji, samo sa promenom da su umesto „oca Kamenskog“ umetnute reči: „ Kutuzov otac.”
Otkinuvši ove poslednje reči kao vojnik i mašući rukama, kao da nešto baca na zemlju, bubnjar, suv i lep vojnik od četrdesetak godina, strogo je pogledao vojnike tekstopisce i zatvorio oči. Zatim, uvjeravajući se da su sve oči uprte u njega, činilo mu se da pažljivo podiže objema rukama neku nevidljivu, dragocjenu stvar iznad svoje glave, držao je tako nekoliko sekundi i odjednom je očajnički bacio:
Oh, ti, moj baldahin, moj baldahin!
“Moja nova baldahina...”, odjeknulo je dvadeset glasova, a držač kašike je, uprkos težini municije, brzo skočio napred i krenuo unazad ispred čete, pomerajući ramena i preteći nekome kašikama. Vojnici su, mašući rukama u ritmu pjesme, hodali dugim koracima, nehotice udarajući nogama. Iza društva čuli su se zvuci točkova, škripanje opruga i gaženje konja.
Kutuzov i njegova pratnja vraćali su se u grad. Glavnokomandujući dao je znak narodu da nastavi slobodno, a na njegovom licu i na svim licima njegove pratnje isticalo se zadovoljstvo pri zvucima pjesme, pri pogledu na vojnika koji igra i vojnika društvo korača veselo i žustro. U drugom redu, sa desnog boka, s kojeg je kočija prestizala čete, nehotice je zapao za oko plavooki vojnik Dolohov, koji je posebno žustro i graciozno koračao u ritmu pjesme i gledao u lica oni koji prolaze sa takvim izrazom lica, kao da mu je žao svih koji u ovo vreme nisu otišli sa društvom. Husarski kornet iz Kutuzovljeve pratnje, oponašajući komandanta puka, pao je iza kočije i dovezao se do Dolohova.
Husarski kornet Žerkov svojevremeno je u Sankt Peterburgu pripadao tom nasilnom društvu koje je vodio Dolohov. U inostranstvu, Zherkov je upoznao Dolohova kao vojnika, ali nije smatrao potrebnim da ga prepozna. Sada, nakon razgovora Kutuzova s ​​degradiranim čovjekom, okrenuo se prema njemu sa radošću starog prijatelja:
- Dragi prijatelju, kako si? - rekao je na zvuk pesme, usklađujući korak svog konja sa korakom kompanije.
- Ja sam kao? - hladno je odgovorio Dolohov, - kao što vidite.
Živa pesma je dala poseban značaj tonu bezobrazne veselosti kojom je Žerkov govorio i namernoj hladnoći Dolohovljevih odgovora.
- Pa, kako se slažeš sa svojim šefom? – upitao je Žerkov.
- Ništa, dobri ljudi. Kako ste ušli u štab?
- Sekundirani, na dužnosti.
Oni su ćutali.
„Pustila je sokola iz desnog rukava“, rekla je pesma, nehotice izazivajući veselo, veselo osećanje. Njihov razgovor bi vjerovatno bio drugačiji da nisu razgovarali uz zvuk pjesme.
– Je li istina da su Austrijanci pretučeni? – upitao je Dolohov.
“Đavo ih zna”, kažu.
„Drago mi je“, odgovorio je Dolohov kratko i jasno, kako je pesma zahtevala.
„Pa, ​​dođi nam uveče, založićeš faraona“, rekao je Žerkov.
– Ili imate mnogo novca?
- Dođi.
- Zabranjeno je. Dao sam zavet. Ne pijem i ne kockam se dok ne uspiju.
- Pa, na prvu stvar...
- Videćemo tamo.
Opet su ćutali.
„Uđite ako vam nešto zatreba, svi u štabu će pomoći...“ rekao je Žerkov.
Dolohov se naceri.
- Bolje ne brini. Neću tražiti ništa što mi treba, uzeću sam.
- Pa ja sam tako...
- Pa i ja sam.
- Zbogom.
- Budite zdravi…
...i visoko i daleko,
Na domacoj strani...
Žerkov je svojim mamzama dotakao konja, koji je, uzbudivši se, udario tri puta, ne znajući s kojim da počne, snašao se i odjurio, sustigao društvo i sustigao kočiju, takođe u ritmu pesme.

Vraćajući se sa smotre, Kutuzov je u pratnji austrijskog generala ušao u svoju kancelariju i, pozvavši ađutanta, naredio da mu se daju papiri u vezi sa stanjem pristiglih trupa i pisma koja je primio od nadvojvode Ferdinanda, koji je komandovao naprednom vojskom. . Knez Andrej Bolkonski ušao je u kancelariju glavnog komandanta sa potrebnim papirima. Kutuzov i jedan austrijski član Gofkriegsrata sjedili su ispred plana položenog na sto.
„Ah...“ rekao je Kutuzov, osvrćući se na Bolkonskog, kao da je ovom rečju pozvao ađutanta da sačeka, i nastavio razgovor koji je započeo na francuskom.
„Samo kažem jedno, generale“, rekao je Kutuzov sa prijatnom gracioznošću izraza i intonacije, što vas je nateralo da pažljivo slušate svaku ležerno izgovorenu reč. Bilo je jasno da je i sam Kutuzov uživao slušajući sebe. „Kažem samo jedno, generale, da je stvar zavisila od moje lične želje, tada bi volja Njegovog Veličanstva cara Franca bila odavno ispunjena. Davno bih se pridružio nadvojvodi. I vjerujte mojoj časti, meni lično bi bila radost da najvišu komandu nad vojskom predam jednom upućenijem i vještijem generalu od mene, kojih Austrija ima u izobilju, i da se odreknem ove teške odgovornosti. Ali okolnosti su jače od nas, generale.
A Kutuzov se nasmiješio izrazom lica kao da govori: „Imate pravo da mi ne vjerujete, a ni mene uopšte nije briga da li mi vjerujete ili ne, ali nemate razloga da mi to kažete. I to je cela poenta.”
Austrijski general je izgledao nezadovoljno, ali nije mogao a da ne odgovori Kutuzovu istim tonom.
„Naprotiv“, rekao je mrzovoljnim i ljutitim tonom, toliko suprotno laskavom značenju reči koje je izgovorio, „naprotiv, njegovo Veličanstvo visoko ceni učešće vaše Ekselencije u zajedničkoj stvari; ali vjerujemo da sadašnje usporavanje uskraćuje slavne ruske trupe i njihove vrhovne komandante lovorika koje su navikli da žanju u bitkama”, završio je svoju očigledno pripremljenu frazu.
Kutuzov se nakloni ne menjajući osmeh.
„I tako sam uvjeren i, na osnovu posljednjeg pisma kojim me je Njegovo Visočanstvo nadvojvoda Ferdinand počastio, pretpostavljam da su austrijske trupe, pod komandom tako vještog pomoćnika kao što je general Mack, sada izvojevale odlučujuću pobjedu i ne više potrebna je naša pomoć”, rekao je Kutuzov.
General se namrštio. Iako nije bilo pozitivnih vijesti o porazu Austrijanaca, bilo je previše okolnosti koje su potvrdile opšte nepovoljne glasine; i stoga je Kutuzova pretpostavka o pobjedi Austrijanaca bila vrlo slična ismijavanju. Ali Kutuzov se krotko osmehnuo, i dalje sa istim izrazom lica, koji je rekao da ima pravo da to pretpostavi. Zaista, posljednje pismo koje je dobio od Macove vojske obavijestilo ga je o pobjedi i najpovoljnijem strateškom položaju vojske.

Razmotrite funkciju snage

Rice. 23

Gdje P- prirodni broj. Derivat w" = nzn ~ 1 postoji i nije nula u svim tačkama z f 0, z f oo. Stoga je preslikavanje izvršeno funkcijom (10.1) konformno u svim točkama osim z = 0 h z = oo. Ako zapišemo varijable z I w u demonstrativnoj formi, z = re l w - re 1v, onda (10.1) vodi do jednakosti

(već smo razmatrali mapiranje (10.1) za slučaj P= 2 u primjeru 5.1). Iz ovoga je jasno da su krugovi z = g transformirati u krugove |-w| = g", ugao 0 ip a 2 it/n, sa vrhom u početku, koji leži u ravni varijable z, se prikazuje pod uglom 0 u ravni w. Posljedično, konformalnost mapiranja je narušena u tački z =0 : uglovi u ovoj tački se povećavaju kada se prikažu P jednom. Lako je pokazati da preslikavanje (10.1) nije konformno u tački z = oo(probajte ovo sami).

Neka bodove z I z-2 su takvi da Z2 = P^2 Lako za vidjeti

šta ti misliš Z f 22, i Zo= g”e /n sa vrhom u početku.

Za uvođenje funkcije inverzne snage potrebne su nam sljedeće definicije.

Viševrijedna funkcija kompleksne varijable je pravilo (zakon) prema kojem je kompleksan broj z od mnogih D odgovara nekoliko (možda beskonačno mnogo) kompleksnih brojeva w.

Sve funkcije o kojima smo ranije govorili (osim funkcije Argz) bile su jednovrijedne. Argz funkcija je višeznačna:

gdje je argz glavna vrijednost argumenta i Za - bilo koji cijeli broj. U daljem tekstu, pod terminom funkcija, korišteno bez ikakvog objašnjenja, podrazumijeva nedvosmislenu funkciju; polisemija funkcija koje se proučavaju uvijek će biti dodatno specificirana.

Neka je funkcija w = f(z) prikazuje područje D po regionu E. Inverzno funkciji w = f(z) naziva se funkcija (općenito govoreći, višeznačna) z = g(w), definisano po oblasti E, koji za svaki kompleksni broj w € E odgovara svim kompleksnim brojevima z € D, takav da f(z) = w.

Drugim riječima, inverzna funkcija od w = f(z),- ovo je pravilo po kojem svaka bod w € E svi njegovi prototipovi odgovaraju z € D.

Ako je funkcija i)= /(r) je univalentna u D, tada je inverzna funkcija jednoznačna (i također univalentna) u E Ako w = f(z) nije univalentna, tada će inverzna funkcija biti višeznačna. Na primjer, inverzna funkcija w = z n je viševrijedna funkcija z - y/w: Svaka vrijednost w, različita od 0 i oo, odgovara P različiti koreni nth stepeni određene formulom (2.12). Brojevi 0 i oc imaju svaki po jedan korijen: >/0 = 0, >/oo = oo.

Teorema 10.1. Neka je funkcija w = f(z) univalentna i apolitična u domeni D, preslikaj D na domenu E i f"(z) φ 0. Tada je inverzna funkcija z = g(w) također apolitična u domeni E i

Dokaz. Popravimo proizvoljnu tačku z € D i uzmi prirast Az f 0. Zatim, zbog univalentnosti funkcije w= /(g), odgovarajući prirast Aw = f(z + Az) - f(z) takođe nije jednako nuli. Zbog toga

Od funkcije w = f(z) ana/shtichnaya, onda je kontinuirano u tački z. dakle, Aw-> 0 at Az-> 0, a zbog jedan-na-jedan vrijedi i obrnuto: Az-y 0 at Aw-> 0. Odavde

Q.E.D.

Argument funkcije z = g(tv), obrnuto w =/(-r), je varijabla w. Pošto se argument funkcije često označava sa 2, radi uniformnosti varijable se označavaju sa 2 z I w i pisati w = g(z). Na primjer, inverzna funkcija za w = z n biće napisano kao w = yfz.

Pogledajmo detaljnije funkciju w = y/z. Kao što je gore navedeno, ima više vrijednosti. Međutim, moguće je definirati ovu funkciju na skupu složenijih uređaja od kompleksne ravni, na kojoj je funkcija w = y/z postaće jedan na jedan i kontinuiran. Hajde da opišemo odgovarajući skup. Uzmimo P kopije (“listovi”) Do, D,..., D n -i kompleksnu ravan, preseći duž pozitivne poluose i postaviti ih jednu iznad druge (na slici 24, A prikazan slučaj P= 4). Tada se ta ivica otvara

Rice. 24, A

izvan područja kojem prilazimo ispod grede OH(tj. ali poluravni at D zalijepljen na gornju ivicu područja reza D-2 itd. dok ne zalijepimo donju ivicu reza D n -h sa gornjom ivicom reza Dn -. Sada ćemo zalijepiti preostali slobodni donji rub područja reza Dn-(na slici 24, A ovo je D 3) sa gornjom ivicom područja reza Uradi- U trodimenzionalnom prostoru takvo lijepljenje se ne može izvesti bez ukrštanja međulimova s ​​već napravljenim lijepljenjem. Ali složićemo se da ovo lepljenje smatramo disjunktnim sa prethodnim (tj. tačke ovog lepljenja se smatraju različitim od tačaka drugih lepljenja). Rezultirajuća površina je prikazana na sl. 24, 6 . To se zove Rimanova površina funkcije w = fz. Iznad svake tačke kompleksne ravni, različite od 0 i os, nalazi se tačno P tačke Riemannove površine. Poeni X> 0 realne poluose nije izuzetak, jer se sva lepljenja koja se nalaze iznad nje smatraju disjunktivnim. Samo dvije tačke nemaju ovo svojstvo: z = 0 i z = os. Smatra se da su svi listovi Riemannove površine zalijepljeni u tačkama koje se nalaze iznad tačaka z= 0 i z= oo.

Definirajmo sada funkciju w = s/z na konstruisanoj Rimanovoj površini. Podsjetimo da ako z- re,v? , zatim svi n-ti korijeni z određuju se formulom (2.12):

Rice. 24, b

Ugao y> u ovoj formuli možete birati između bilo kojeg intervala dužine 27g; zgodno nam je pretpostaviti da je 0 ^ ip

Do bodova z = re t leži na listu Uradi i lepljenje Uradi sa D n _1, poklapamo vrijednost korijena sa To= 0; tačke koje leže na listu D 1 i lijepljenje D c Do, - vrijednost korijena c To= 1. Općenito, tačke koje leže na D* za 1 ^ To ^ P- 1, a lijepljenje D* sa D*._i odgovara vrijednosti korijena sa datim To. Konstruirana korespondencija će biti jednoznačna funkcija na Riemannovoj površini.

Lako je pokazati da ova funkcija preslikava Riemanovu površinu jedan na jedan na cijelu kompleksnu ravan. stvarno,

~ - * 2TG* 27g(&+1) „ -

list i toće biti prikazano u uglu

Pokažimo da je i ovo preslikavanje kontinuirano. Ako je poenta z leži na listu D* sa rezom, tada kontinuitet u ovoj tački sledi direktno iz formule (10.3) sa fiksnim To. Za demonstraciju

kontinuitet u tačkama lepljenja, razmotrimo konturu na Riemannovoj površini koja se sastoji od tačaka koje se nalaze iznad kružnice z= 1 kompleksna ravan. Počnimo obilaziti ovu konturu od tačke g, koja se nalazi na gornjoj ivici reza lima By. Kako je r = 1, cr = 0, To= 0, onda w = y/z= 1. Prilikom obilaska prvog okreta konture na listu Uradiće f 2i G

G-2 T . . 2 T: _ m

I Vz-> cos - + i sin -. Kretanje duž lijepljenja na lim P. snaći ćemo se p str

-f + 2 T . f + 2 T

definicija, l/g = cos-+ g sin- (pošto k = 1). posebno,

at = 0 će biti ista vrijednost korijena kojoj smo se približavali kada smo se približavali donjoj obali reza na listu Uradi. To znači da na mjestima lijepljenja By With P funkcija sfz biće kontinuirano. Kontinuitet korijena je prikazan na sličan način kada se prelazi iz Dk-i na D* na 1 ^ To ^ P - 1. Na kraju, obilazeći konturu duž lista D„_ 1 i približavajući se donjoj ivici presjeka, dobijamo To = 11 - 1, f-uh 2 T, And

one. istu vrijednost od koje smo krenuli na gornjoj ivici reza lima P 0 . dakle, funkcija>/g će biti kontinuiran u svim tačkama Riemannove površine. Kao funkcija inverzna analitičkoj, ona je također jedinstvena analitička funkcija na ovoj površini (osim tačaka z= 0 i z= oo).

Uzmimo bilo koji krug z= r u kompleksnoj ravni koja okružuje tačku z = 0. Ovaj krug će također pokriti tačku n z= oo. Obilazeći konturu na Rimanovoj plohi, koja se sastoji od tačaka koje se nalaze iznad ove kružnice, preći ćemo s jednog lista Riemannove površine na drugi. Stoga bodove z= 0 i z= oo se zovu tačke grananja. Nijedna druga tačka nema opisano svojstvo: ako uzmemo kružnicu sa centrom u tački z f 0, z f oo, koji ne sadrži tačku 0, tada se formiraju odgovarajuće tačke na Rimanovoj površini P krugovi koji nisu međusobno povezani. Obilazeći svaku od njih, nećemo ići dalje od istog lista.

Nedvosmisleno analitičko u domenu D funkcija f(z) pozvao redovna filijala viševrijedna funkcija F(z), definirano u istom području, ako je vrijednost f(z) na svakoj tački u regionu D odgovara jednoj od vrijednosti F(z) na ovom mjestu.

Viševrijedna funkcija F(z) je jedinstven i analitičan na svojoj Rimanovoj površini (osim tačaka grananja). Stoga, prilika za isticanje u tom području D pravilna grana znači da je moguće locirati ovo područje na Riemannovoj površini bez rezanja D i bez dodirivanja tačaka grananja. Oblap D Istovremeno, mora se u potpunosti položiti na jedan lim ili se spustiti lijepljenjem s jednog lista na drugi (kao tepih na stepeništu). Na primjer, prsten 1 z F(z) = sfz, str^2 od tačaka prstena.

koji se nalaze iznad pozitivne poluose, moraju istovremeno pasti na različite listove, što je nemoguće. Ali ako izrežete prsten duž bilo kojeg radijusa, tada je takav raspored moguć. U isto vrijeme, mjesto D na Riemannovoj površini je moguće P načine (i stoga se razlikuju u D str različite grane funkcija y/z). Da biste odabrali određenu granu, dovoljno je naznačiti vrijednost funkcije u bilo kojoj tački područja D. Ovo označava list Riemannove površine na koji ova tačka pada, što znači da je lokacija cijele regije fiksna D.

Primjer 10.2. Izdavanje redovne filijale f(z) funkcije w =

2 = e ttp : - -

Rješenje: Područje D je složena ravan sa rezom ali imaginarnom poluosi at^ 0. To znači da odabir regularne grane u D Možda. Prema formuli (10.3)

Da biste izolovali granu /(r), morate pronaći odgovarajuću vrijednost A*. Pošto /(1) = r, onda zamjenjujemo ip= 0, r = 1, dobijamo

odakle to sledi To= 1. Dakle, željena grana

posebno,

Konstruisali smo Riemanovu površinu funkcije w == fz, presecajući kompleksnu ravan C duž pozitivne poluose. Imajte na umu da izbor linije rezanja nije fundamentalan: slična konstrukcija bi se mogla napraviti rezanjem C, na primjer, duž bilo koje zrake koja izlazi iz ishodišta.

Neka je z=x+iyÊC, onda je, po definiciji, e z =e x (cos(y)+i∙sin(y)).

Funkcija w=e z je definirana na cijelom C, analitička je na C, jer

W=u+iv=e x (cos(y)+i∙sin(y)) _ (u=e x cos(y), v=e x sin(y)] _ u,vÊC 1 (R 2) i uslovi su ispunjeni Cauchy-Riemann: ∂u/∂x=e x cos(y), ∂v/∂y=e x cos(y), ∂u/∂y=-e x sin(y), ∂x/∂x=e x sin( y) _ (∂y/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x] _ w=e z – analitička funkcija na S. (e z)"=∂(e x ( cos(y)+i∙sin(y)))/∂x=e x (cos(y)+i∙sin(y))=e z .

sz 1 ,z 2 ÊC e z 1 ∙e z 2 =e z 1+ z 2 , jer e z 1 ∙e z 2 =e x 1 (cos(y 1)+i∙sin(y 1)), e x 2 =(cos(y 2)+i∙sin(y 2))=e x 1+ x 2 (cos (y 1 +y 2)+i∙sin(y 1 +y 2))=e z 1+ z 2. Kada je z=x, dobija se ograničenje funkcije w=e z na realnu liniju - funkciju e x.

Funkcija w=e z je periodična sa periodom T=2πi, e z +2π i =e z ∙e 2π i , e 2π i =e 0 (cos(2π)+i∙sin(2π))=1 _ e z +2π i =e z , szÊC.

Neka je e z 1 =e z 2, pomnožite sa e - z 2: e z1-z2 =1. Broj z 1 -z 2 =T 1 +i∙T 2 _ e T 1+ i ∙ T 2 =1 _ e T 1 (cosT 2 +i∙sinT 2)=1; e T 1 =1, cosT 2 =1, sinT 2 =0 _ T 1 =0, T 2 =2πk _z 1 -z 2 =2πki _ T=2πi – period. Dakle, ako region D ne sadrži tačke z 1 i z 2 takve da je z 1 -z 2 =2πki, kÊZ, onda je region D region sa jednim zadatkom funkcije w=e z. Za D možete uzeti pogledajte sl.

Više o temi 6. Eksponencijalna funkcija w=ez i njena glavna svojstva:

1. 1 Pojam, osnovna svojstva i klasifikacija pravne nauke. TGP metodologija.
2. Osnovna svojstva tumora. Patologija mitoze i apoptoze.
3. 39. Opišite ciljeve i funkcije osiguravajućih društava. Formulirajte glavne pravce djelatnosti osiguranja.
4. Rečenice sa izolovanim članovima (pojam izolacije; funkcije izolovanih članova rečenice). Osnovni uslovi odvajanja. Varijante izolovanih članova i revolucije.

19.2.1. Definicija funkcija kompleksne varijable ne razlikuje se od opšte definicije funkcionalne zavisnosti. Dozvolite da vas podsjetimo , Šta region na ravni nazivamo svaki otvoreni povezani skup tačaka ove ravni. Region jednostavno povezan, ako bilo koja poddomena ograničena kontinuiranom zatvorenom samodisjunktnom krivom koja leži u ovoj domeni u potpunosti pripada domeni.

Razmotrimo dvije ravni kompleksnih brojeva: C = {z | z = x + iy ) I W = {w | w = u + iv ). Pustite u avion WITH određeno područje D i dato je pravilo koje dodjeljuje svaku tačku
određeni kompleksni broj
. U ovom slučaju to kažu u okolini D odlučan jednoznačna funkcija w = f (z ) (ili definisano displej
). Region D naziva se domenom definicije funkcije, skup je skup vrijednosti funkcije (ili slika domene D kada se prikaže f .

Ako bi svi
dodijeljeno je nekoliko vrijednosti
(tj. tačka z ima nekoliko slika), zatim funkciju w = f (z ) se zove polisemantički.

Funkcija w = f (z ) se zove o donji list u oblasti
, ako mapira područje jedan na jedan D po regionu
(tj. svaka tačka
ima jednu sliku
, i nazad, svaki bod
ima jedan prototip
.

19.2.2. Realni i imaginarni dio funkcije kompleksne varijable. Jer

w = u + iv , z = x + iy , zatim zavisnost w = f (z ) može se napisati u obliku

w = u + iv = f (z ) = f (x + iy ) = Re f (x + iy ) + i Ja sam f (x + iy ). dakle, zadavanje kompleksne vrijednosti fu funkcije w = f (z ) kompleksna varijablaz je ekvivalentno specificiranju dvije realne funkcijeu = u (x , y ) = Re f (z ), v = v (x , y ) = Im f (z ) dvije realne varijable X , at .

Primjeri: 1. w = z 3. Mi izražavamo z 3 kroz X ,at : z 3 = (x + iy ) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z . Evo

Dalje, formulisaćemo mnoga svojstva FCP (funkcije kompleksne varijable) u smislu njegovog realnog dela u (x , y ) i imaginarni dio v (x , y ), tako da tehnika izolacije ovih dijelova mora biti dobro razvijena.

19.2.3. Geometrijska slika FKP. Postavljanje funkcije w = f (z ) kao parovi

u = u (x , y ), v = v (x , y ) predlaže da se PCF prikaže kao par površina u (x , y ), v (x , y ) u trodimenzionalnom prostoru, međutim, ova metoda je nezgodna, jer ne dozvoljava da se shvati par ( u , v ) kao kompleksni broj. Ponekad se prikazuje površina koja se zove olakšanje funkcije w = f (z ) . Linije nivoa funkcije Arg se primjenjuju na ovu površinu f (z ) ; Ako imate iskustva, ova informacija je dovoljna da dobijete predstavu o promjeni funkcije u polarnim koordinatama. Međutim, univerzalni način prikazivanja PCF-a je crtanje skupova koji odgovaraju jedni drugima pod dotičnim mapiranjem. Najčešće uzimaju koordinatne linije (kartezijanske ili polarne koordinate) i pronalaze svoje slike.

Primjeri. 1. Linearna funkcija w = a z + b , gdje su fiksni kompleksni brojevi, a 1 , b 1 - njihovi pravi dijelovi, a 2 , b 2 - njihovi imaginarni dijelovi.

Zamislimo ovu funkciju kao superpoziciju dvije funkcije: w 1 = az I w = w 1 + b . Display
, prema tumačenju množenja brojeva u trigonometrijskom obliku, dovodi do povećanja (smanjenja) argumenta broja z to arg a i rastezanje (kompresija) njegovog modula u | a | jednom; displej
dovodi do pomaka tačke: w 1 po vektoru: b (b 1 , b 2). Dakle, linearna funkcija w = a z + b rasteže se (sa
) svaki vektor z u | a | puta (ili ga komprimuje u puta u | a | <1), поворачивает на угол arg a i pomaci po vektoru b . Kao rezultat toga, sve ravne linije se pretvaraju u ravne linije, a krugovi u krugove.

2. Funkcija napajanja w = z 2. Razmotrimo ovu funkciju u gornjoj poluravni

C + = {z | y = Im z >0). U demonstrativnoj formi w = z 2 = (|z | e i arg z ) 2 = |z | 2 e 2 i arg z . Posljedično, polukrug se pretvara u krug sa probijenom tačkom,

greda - u gredu. Cijela gornja poluravnina WITH + ide u avion W sa izbačenom pozitivnom osovinom.

P Predstavimo ovo preslikavanje u kartezijanskim koordinatama. Jer

w = z 2 = (x + iy ) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy , To u (x , y ) = x 2 - y 2 , v (x , y ) = 2 xy . Nađimo slike koordinatnih linija. Pravo y = y 0 će ići u krivu čije su parametarske jednačine u = x 2 – y 0 2 ,

v = 2 xy 0 (X - parametar). Isključujući X , dobijamo jednačinu parabole
. zraka
će ići na u = x 0 2 – y 2 ,

v = 2 x 0 y (parametar y >0). Isključujući at , dobijamo granu parabole
.

Od v = 2 x 0 y sledi to v čuva znak x 0 , tako da će ovo biti gornja grana na x 0 >0, a niže na x 0 <0. Луч x 0 = 0 će preći u snop u < 0, v = 0.

Razmatramo funkciju w = z 2 u gornjoj poluravni WITH + , uprkos činjenici da je definisan u celoj ravni WITH , iz razloga što je univalentan u ovoj poluravni. Donja poluravnina C - = {z | y = Im z <0} при отображении w = z 2 će također pokriti cijeli avion W (osim pozitivne polu-ose). Ako uzmemo u obzir cjelokupnu sliku aviona WITH pod ovim mapiranjem, tada će se sastojati od dvije kopije ravnine W (dva lista pokrivaju ovu ravan).

Koristeći ovaj primjer, dobili smo algoritam za konstruiranje slika linija i površina prilikom prikaza w = f (z ). Ako w = u (x , y ) + iv (x , y ), zatim da se pronađe jednačina slike prave L : F (x , y ) = 0 kada se prikaže, potrebno je iz sistema jednačina
isključiti varijable X I at ; rezultat će biti jednačina
linijska slika L u avionu W . Da biste pronašli sliku područja D , omeđen zatvorenom krivom L , moramo pronaći sliku ove linije, ako je slika zatvorena linija, onda moramo odrediti da li ide D u područje omeđeno ovom linijom, ili u eksterijer ovog područja.

P primjer: neka z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + i , z 3 = 1 + 2 i . Pronađite sliku trougla z 1 z 2 z 3 kada se prikaže w = z 2 .

Pronađite gdje su prikazani vrhovi trougla. w 1 = z 1 2 = (1 + i ) 2 = 1 + 2i - 1 = 2i ;

w 2 = z 2 2 = (2 + i ) 2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i ;

w 3 = z 3 2 = (1 + 2i ) 2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i . Side z 1 z 2 je dio linije at =at 0 =1. Ova linija se preslikava, kao što smo vidjeli, u parabolu
. Treba nam dio ove parabole između tačaka w 1 i w 2. Dalje, strana z 1 z 3 je dio prave linije X =X 0 =1, mapirano u parabolu
; uzmite presjek ove parabole između tačaka w 1 i w 3. Side z 2 z 3 leži na pravoj liniji X +at =3; dobijamo jednačinu slike ove prave eliminacijom iz sistema
varijable X I at : . Presjek ove parabole između tačaka w 2 i w 3 i dat će sliku bočne strane z 2 z 3. Slika trougla je konstruisana. Lako je provjeriti da površina ograničena ovim trokutom ulazi u unutrašnjost krivolinijskog trokuta w 1 w 2 w 3 (za to je dovoljno pronaći, na primjer, sliku jedne tačke ovog područja).

3. Općenitija funkcija snage w = z n , Gdje n - prirodni broj, djeluje slično funkciji w = z 2. Jer w = z n = (|z | e i arg z ) n = |z | n e i n arg z , tada se ovo preslikavanje povećava za n puta sve uglove sa vrhom u tački z= 0. Bilo koje dvije tačke z 1 i z 2 sa identičnim modulima i argumentima koji se razlikuju za višestruko od (i samo oni) pomeraju se u jednu tačku w , tj. "zalijepiti zajedno" kada se prikaže. Prema tome, mapa nije univalentna ni u jednoj domeni koja sadrži takve tačke. Primjer regije u kojoj je ovo mapiranje univalentno - sektor
. Ovaj sektor se pretvara u područje, tj. u avion W sa izbačenom pozitivnom osovinom. Bilo koja površina unutar sektora rješenja je manja , jednoznačno prikazano u W .

19.2.4. FCP limit.

Definicija. Neka funkcija w = f (z ) je definiran u probijenoj okolini tačke z 0 = x 0 + iy 0 . Kompleksni broj w 0 = u 0 + iv 0 se zove granica funkcije na
, ako postoji -komšiluk
(>0) bodova w 0 postoji takav probušen -komšiluk
bodova z 0, što je za sve
vrijednosti f (z ) pripadaju
. Drugim riječima, ako z 0 je odgovarajuća tačka ravni, onda za bilo koju >0 mora postojati tako nešto >0, što je iz nejednakosti
slijedi nejednakost
(definicija za neispravnu tačku je napisana na sličan način
). Dakle, u jeziku -definicija granice FKP potpuno se poklapa sa definicijom granice funkcije jedne realne varijable; ograničenje je naznačeno kao i obično:
.

Nejednakost
znači da , ili . Za modul kompleksnih brojeva vrijede sva osnovna svojstva apsolutne vrijednosti, stoga je odavde lako dobiti da je

. Dakle, postojanje granice funkcije kompleksne varijable je ekvivalentno postojanju granica dvije realne funkcije u (x , y ) I v (x , y ) dvije realne varijable. Stoga se sve teoreme o granicama funkcije u nekoj tački (granica zbira funkcija, itd.) automatski prenose u kompleksnu analizu. Također se može dokazati da ako , Tada
(za postojanje nulte granice dovoljno je da
).

19.2.5. Kontinuitet FKP-a. Neka funkcija w = f (z ) je definisan u blizini tačke z 0 = x 0 + iy 0 . Kaže se da je funkcija kontinuirana u tački z 0 ako:

Kao iu slučaju limita, može se pokazati da w = f (z ) će biti kontinuiran u tački z 0 = x 0 + iy 0 ako i samo ako su funkcije u (x , y ) I v (x , y ) su kontinuirani u tački ( x 0 , y 0), stoga se sve glavne teoreme o kontinuitetu funkcija prenose na PCF.